最初中数学路径最短问题专题复*

发布于:2021-11-29 03:14:06

最初中数学路径最短问题专题复* 一、具体内容包括: 蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题; 线段(之和)最短问题; 二、原理: 两点之间,线段最短;垂线段最短。 (构建“对称模型”实现转化) B A 主要有利用重要的几何结论(如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三 边、垂线段最短等) 三、例题: 例 1、①如右图是一个棱长为 4 的正方体木块,一只蚂蚁要从木块的点 A 沿木块侧面爬到 点 B 处,则它爬行的最短路径是 。 ②如右图是一个长方体木块,已知 AB=3,BC=4,CD=2,假设一只蚂蚁在点 A 处,它要沿着 木块侧面爬到点 D 处,则蚂蚁爬行的最短路径是 。 D C A B 例 2、①如图,要在河边修建一个水泵站,分别向张村、李庄送水,水泵站修在河边什么地 方可使所用的水管最短。 李庄 张村 A L B ②如图,直线 L 同侧有两点 A、B,已知 A、B 到直线 L 的垂直距离分别为 1 和 3,两点的 水*距离为 3,要在直线 L 上找一个点 P,使 PA+PB 的和最小。请在图中找出点 P 的位 置,并计算 PA+PB 的最小值。 ③要在河边修建一个水泵站,向张村、李庄铺设管道送水,若张村、李庄到河边的垂直距 离分别为 1Km 和 3Km,张村与李庄的水*距离为 3Km,则所用水管最短长度 为 。 李庄 张村 四、练*题(巩固提高) (一)1、如图是一个长方体木块,已知 AB=5,BC=3,CD=4,假设一只蚂蚁在点 A 处,它要 沿着木块侧面爬到点 D 处,则蚂蚁爬行的最短路径是 。 D B B C A 第1题 B A A 第2题 A 第3题 2、现要在如图所示的圆柱体侧面 A 点与 B 点之间缠一条金丝带(金丝带的宽度忽略不 计) ,圆柱体高为 6cm,底面圆周长为 16cm,则所缠金丝带长度的最小值为 。 3、如图是一个圆柱体木块,一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从 A 点爬到点 B 处吃到食物,知圆 柱体的高为 5 cm,底面圆的周长为 24cm,则蚂蚁爬行的最短路径为 。 4、正方形 ABCD 的边长为 8,M 在 DC 上,且 DM=2,N 是 AC 上的一动点,DN+MN 的最小值为 。 D P A E B 图(2) C 第4题 第5题 第6题 5、在菱形 ABCD 中,AB=2, ∠BAD=60°,点 E 是 AB 的中点,P 是对角线 AC 上的一个 动点,则 PE+PB 的最小值为 。 6、如图,在△ABC 中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D 是 BC 边的中点,E 是 AB 边上一动 点,则 EC+ED 的最小值为____ ___。 (二)8、如图,点 P 关于 OA、OB 的对称点分别为 C、D,连接 CD,交 OA 于 M,交 OB 于 N,若 CD=18cm,则△PMN 的周长为________。 9、已知,如图 DE 是△ABC 的边 AB 的垂直*分线,D 为垂足,DE 交 BC 于 E,且 AC= 5,BC=8,则△AEC 的周长为__________。 10、已知,如图,在△ABC 中,AB<AC,BC 边上的垂直*分线 DE 交 BC 于点 D,交 AC 于点 E,AC=8,△ABE 的周长为 14,则 AB 的长 。 11、如图,在锐角 △ABC 中, AB= 4 2, ∠ BAC= 45°, ∠ BAC 的*分线交 BC 于点 D, M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点,则 BM+MN 的最小值是____. 12、在*面直角坐标系中,有 A(3,-2) ,B(4,2)两点,现另取一点 C(1,n) ,当 n = 时,AC + BC 的值最小. D C P F A E B 第 11 题 第 14 题 第 15 题 13、 △ABC 中, ∠ C = 90°, AB = 10, AC=6,BC=8,过 AB 边上一点 P 作 PE⊥ AC 于 E, PF ⊥BC 于 F,E、F 是垂足,则 EF 的最小值等于 . 14、如图,菱形 ABCD 中,AB=2, ∠BAD=60°,点 E、F、P 分别是 AB、BC、AC 上的动 点,则 PE+PF 的最小值为___________. 15、如图,村庄 A、B 位于一条小河的两侧,若河岸 a、b 彼此*行,现在要建设一座与河 岸垂直的桥 CD,问桥址应如何选择,才能使 A 村到 B 村的路程最*? (三)16、如图,已知∠AOB 内有一点 P,试分别在边 OA 和 OB 上各找一点 E、F,使得 △PEF 的周长最小。试画出图形,并说明理由。 17、如图,直线 l 是第一、三象限的角*分线. 实验与探究: ( 1)由图观察易知 A(0, 2)关于直线 l 的对称点 A′的坐标为( 2, 0) ,请在图中分别标 明 B( 5, 3) 、 C( - 2, 5) 关 于 直 线 l 的 对 称 点 B′、 C′的 位 置 , 并 写 出 他 们 的 坐 标 : B′ 、C′ ; 归纳与发现: ( 2)结合以上三组点的坐标,你会发现:坐标*面 内任一点 P(a,b)关于第一、三象限的角*分线 l 的对称点 P′的坐标为 ; 运用与拓广: (3)已知两点 D(1,-3) 、E(-1,-4) ,试在直线 l 上确定一点 Q,使点 Q 到 D、E 两 点的距离之和最小,并求出 Q 点坐标. 18、几何模型: 条件:如图,A、B 是直线 L 同旁的两个定点.问题:在直线 L 上确定一点 P,使 PA+PB 的值最小. 方法:作点 A 关于直线 l 的对称点 A? ,连结 A?B 交 l 于点 P ,则 PA ? PB ? A?B 的值最小(不 必证明) . 模型应用: ( 1)如图 1,正方形 ABCD 的边长为 2, E 为 AB 的中点, P 是 AC 上一动点.连结 BD , 由正方形对称性可知, B 与 D 关于直线 AC 对称.连结

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